Interprétation géométrique du module

Remarque

Soit $\text{M}(z)$ un point du plan complexe, avec $z=x+iy$   où $x\in \mathbb{R}$ et  $y\in \mathbb{R}$ . On a :
$\begin{array}{r}\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}=\text{O}\text{M}=\Vert \overrightarrow{\text{O}\text{M}}\Vert \end{array}$ .

Autrement dit, le module de  $z$ représente la distance  $\text{O}\text{M}$ (ou la norme du vecteur $\overrightarrow{\text{O}\text{M}}$ ).

Proposition

Soit $\overrightarrow{w}$ un vecteur du plan complexe d'affixe $z$ . On a :  $\Vert \overrightarrow{w}\Vert =\left|z\right|$ .

Démonstration

Il existe un point  $\text{M}$ du plan complexe tel que $\overrightarrow{\text{O}\text{M}}=\overrightarrow{w}$ .
Par définition, l'affixe de  $\text{M}$ est égale à celle de $\overrightarrow{w}$ . On a donc :  $\Vert \overrightarrow{w}\Vert =\Vert \overrightarrow{\text{O}\text{M}}\Vert =\left|z\right|$ .